初中求概率的方法有哪些（概率初步与统计）

要点一、古典概型

满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

（1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的；

（2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.

要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=n/m

要点二、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1. 列表法：

　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

要点三、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

要点诠释：

用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

思维导图如下：

概率统计与初步

典型例题：

1、疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

疫苗接种情况统计表

（1）表中，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是 　 　年级教师；（填“七”或“八”或“九”）

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有 　 　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

【分析】（1）由统计表中的数据求解即可；

（2）分别求出七、八、九年级教师的接种率，即可得出结论；

（3）由该市初中七、八、九年级共有的人数乘以未接种的教师所占的比例即可；

（4）画树状图，共有12种等可能的结果，选中的两名教师恰好不在同一年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45（或者c=150-105=45），

故答案为：50，20，45；

（2）七年级教师的接种率为：30÷40＝0.75，八年级教师的接种率为：35÷50＝0.7，九年级教师的接种率为：40÷60≈0.67，

∵0.75＞0.7＞0.67，

∴统计的教师中接种率最高的是七年级教师，

故答案为：七；

（3）根据抽样结果估计未接种的教师约有：8000×45/150＝2400（人），

故答案为：2400；

（4）把七年级1名教师记为A，八年级1名教师记为B，九年级2名教师记为C、D，

画树状图如图：

树状图

共有12种等可能的结果，选中的两名教师恰好不在同一年级的结果有10种，

∴选中的两名教师恰好不在同一年级的概率为10/12=5/6。

2、为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．

一班/二班统计图

（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？

（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；

（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．

审题：注意(1)中“B等及以上”表示：A等+B等，如果“B等以上”，表示A等，因此一定要认真审题。

【分析】（1）由条形图得出一班比赛的人数为20人，则二班参赛人数为20人，即可解决问题；

（2）由加权平均数定义和中位数定义分别求解即可；

（3）画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）由条形图可知，一班比赛的人数为：4+9+5+2＝20（人），

∵两个班参加比赛的人数相同，

∴二班参赛人数为20人，

∴这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数为：20×10%+20×35%=20×(10%+35%)＝9（人）；

（2）一班成绩的平均数为：

（100×4+90×9+80×5+70×2）/ 20 ＝ 87.5（分），

由题意得：二班成绩的中位数为80分；

（3）∵二班成绩A等的都是女生，

∴二班成绩A等的人数为：20×10%＝2（人），

把一班成绩A等的2个男生分别记为A、B，其他成绩A等的4个女生分别记为C、D、E、F，

画树状图如图：

树状图

共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，

∴抽取的2人中至少有1个男生的概率为18/30=3/5。

3、为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

（1）“A志愿者被选中”是 　 　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；

（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．

【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．

【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，

故答案为：随机；

（2）列表如下：

列表

由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，

所以A，B两名志愿者被选中的概率为2/12=1/6。

4、一个不透明的口袋中有三个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球。

（1）请用画树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；

（2）求两次模出的球上的数字的积为奇数的概率.

【分析】（1）首先根据题意列表画出树状图，然后由表或树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字的积为奇数的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案

根据题意，可画出树状图如下：

树状图

由树状图可以看出，所有可能的结果共有9种，分别是（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），这些结果出现的可能性相等

（2）由（1）得：其中两次摸出的球上的数字的积为奇数的有4种情况，分别是（1，1）（1，3），（3，1），（3，3），记为事件A，

∴ P(A)=4/9