上、下极限相等，是数列收敛的充要条件，这个知识关注的人本来就不多了。没想到吧！连上、下极限本身，也是有充要条件的。而且还不止一个，有界数列上、下极限的ε-N充要条件。定理的内容是这样的：
定理：设{xn}为有界数列，则任给ε>0，
1、A ̅为{xn}的上极限的充要条件是：
(1)存在N>0，使得当n>N时，有xn<A ̅+ε；
(2)存在子列{x_(nk )}, x_(nk )>A ̅-ε, k=1,2,….
2、▁A为{xn}的下极限的充要条件是：
(1)存在N>0，使得当n>N时，有xn>▁A-ε；
(2)存在子列{x_(nk )}, x_(nk )<▁A+ε, k=1,2,….
下面老黄为你解读证明：(这里只证上极限的充要条件，下极限的充要条件同理，或直接取相反数列得证)
证明：[必要性]∵A ̅是{xn}的聚点，【先证必要性，就是假设上极限，证明条件(1)(2)都成立。首先，上极限是一个聚点】
∴对任给的ε>0，在U(A ̅,ε)内含有{xn}中无穷多项，【这是聚点的定义】
设为{x_(nk )}，则有x_(nk )>A ̅-ε, k=1,2,….【这无穷多个项记为一个子列，子列中的所有项都在U(A ̅,ε)内，自然大于邻域的左端点，条件(2)得证】
又A ̅是{xn}的最大聚点，∴在A ̅+ε的右边至多只有{xn}的有限个项，【反之如果A ̅+ε的右边存在{xn}的无限多个项，那么在A ̅的右边就必有更大的聚点】
设此有限项的最大下标为N，则当n>N时，有xn<A ̅+ε.【条件(1)得证】
证明： [充分性]任给的ε>0，由条件(1)和(2)可知，【再证充分性，就是假设条件(1)(2)都成立，证明上极限。】
在U(A ̅,ε)内含有{xn}中无穷多项，∴A ̅是{xn}的一个聚点.【这是聚点的定义】
又设a>A ̅. 记ε0=1/2(a-A ̅)，【用反证法，假设有更大的聚点】
则由条件(1)可知，在U(a,ε0)内至多只有{xn}的有限个项，【与聚点的定义矛盾】
∴a不是{xn}的聚点，即A ̅是{xn}的最大聚点. ∴A ̅是{xn}的上极限.【最大聚点是上极限的定义】
这个定理还有一个等价定理，被使用得更多：
设{xn}为有界数列，则
1、A ̅为{xn}的上极限的充要条件是：对任何a>A ̅，{xn}中大于a的项至多有限个；对任何b<A ̅，{xn}中大于b的项有无限多个；
2、▁A为{xn}的下极限的充要条件是：对任何b<▁A，{xn}中小于b的项至多有限个；对任何a>▁A，{xn}中小于a的项有无限多个.
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