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容斥问题公式及解析（一招巧解容斥问题）

2024-08-06 14:15:23 100次浏览

　　容斥问题是考试中较为常见的一类题型，小伙伴们再练习的时候也乐于做这类题型，常常感觉这类题型的难度低，方法固定，比较容易求解。但在考试时，不少同学会发现原本简单的容斥问题变难了，因为之前我们学过的容斥问题往往直接列方程求解即可，但是考题在设问中出现了“至少”两个字，同学们便无从下手了。

　　那么当容斥问题的设问中出现了“至多”、“至少”等最值问法时，我们应该如何解题呢?我们常用的解法一般是设未知数列出不定方程，然后通过分析如何取最值的方法来求解。我们不妨通过几道例题来总结一下这类题型的规律，希望对大家有所帮助。

　　【例1】(2018辽宁省公检法)某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有( )人。

　　A. 27 B. 30

　　C. 33 D. 36

　　【思路点拨】分析题干我们可以发现这是一个两集合容斥问题，设问中出现了“至多”这种最值问法。

　　那么我们可以设该班共有x人，唱歌和乐器演奏都不会的有y人，则两种都会的有5y人，根据二集合容斥公式可列出不定方程：x-y=22+15-5y，化简得：x=37-4y。

　　要想x取值最大，则y应最小，因为题干中提到有部分同学这2种才艺都不会，所以y最小取1而不能取0;当取y=1时，x=33，故这个班至多有33人。因此，选择C选项。

　　【例2】(2019国考)有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍。今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?

　　A. 55 B. 65

　　C. 75 D. 85

　　【思路点拨】本题是一个2集合的容斥问题，今年考核结果为优的人可以看做一个集合，去年考核为优的人看做另一个集合，设问中也出现了“至少”这种最值问法。

　　今年考核人数为良及以下的占比降低了15个百分点，则考核结果为优的提高了15个百分点，两年的总人数均为100，即今年考核结果为优的增加了100×15%=15(人)。设去年考核为优的人数为n，则列方程1.2n-n=15，解得去年人数n=75，今年人数是1.2×75=90(人)

　　设两年考核结果均为优的人数为x，两年考核结果均不为优的人数为y，根据两集合的容斥原理公式可列等式：100-y=75+90-x;移项后可得x=65+y;根据等式可以分析出当y最小时x最小，y最小可以取0，此时x=65。因此，选择B选项。

　　【例3】(2015辽宁省考)有135人参加某单位的招聘，31人有英语证书和普通话证书，37人有英语证书和计算机证书，16人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试?

　　A. 51 B. 50

　　C. 53 D. 52

　　【思路点拨】本题是一个三集合容斥问题，设问中出现了“至少”这种最值问法。

　　设持有三种证书的人数为z，不能参加面试的人数为y，根据“总人数-不能参加面试人数=有资格参加面试人数”可列出不定方程：135-y=31+37+16-2z;整理后可得：y=51+2z;想要让y尽量的小，那么需要z取最小值，根据“其中一部分人有三种证书”可知z最小值为1，因此当z=1时y最小，此时y=51+2=53(人)。因此，选择C选项。

　　【例4】(2013辽宁省考)有100人参加运动会的三个项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加跑赛的有70人，问至少有多少人参加了不止一项活动?

　　A.7 B.10

　　C.15 D.20

　　【思路点拨】本题是一个三集合容斥问题，设问中出现了“至少”这种最值问法。

　　分析题干我们可以知道参加了跳远、跳高、跑赛的人数分别为50、40、30。共有50+40+30=120(人次)参加了这次活动。假设参加了一项、两项、三项活动的分别有x人，y人、z人。则可以列出不定方程组：